Numerics の中で、 Schemes (数値計算スキーム)は、微分や勾配、セル中心からノードへの値の補間など、さまざまな項の値を計算の設定を変更できます。SimScaleの熱流体解析機能では、柔軟で自由度の高い、幅広い数値スキームが利用可能です。
| キーワード | 数学用語のカテゴリー |
|---|---|
| Time differentiation (時間微分) | 一次導関数と二次導関数 \(\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} t}\) |
| Gradient (勾配) | 勾配 \(\nabla\) |
| Divergence (発散) | 発散 \(\nabla \cdot \) |
| Laplacian (ラプラシアン) | ラプラシアン \(\nabla^{2}\) |
| Interpolation (補間) | 値のポイント-ポイント補間 |
| Surface normal gradient (表面法線勾配) | セル面に垂直な勾配の成分 |
Time Differentiation (時間微分)
Time Differentiation (時間微分)スキームは、変数の時間変化率を計算します。Time Differentiation (時間微分)スキームを選択する際には、Transient (過渡/非定常解析)用の設計が、必ずしも定常状態で実行されるとは限りません。またその逆も同様です。
下の表は、計算可能なすべてのタイプを示しています。分析のタイプによって利用できるものとできないものがあります。
| スキーム | 説明 |
|---|---|
| Euler | 1次、Bounded、陰解法 |
| Local Euler | 局所時間ステップ, 1次, Bounded, 陰解法 |
| Crank Nicholson \(\psi\) | 2次, Bounded, 陰解法 |
| Backward |
2次, 陰解法 |
| Steady-state (定常状態) | 時間微分を解かない |
1次のBoundedのEulerが最もロバストで、2次のものがより正確です。Backwardは2次の時間微分で、より高い精度が得られますが、安定性が低下する可能性があります。
Gradient (勾配)
Gradient (勾配)スキームは、微分方程式の勾配項の値を補間します。利用可能な離散化スキーム(Defaultで選択)は以下の通りです：
| 離散化スキーム | 説明 |
|---|---|
| Gauss linear | 2次、ガウス積分 |
| Celllimited Gauss linear | Gauss linearのセル限定版 |
| Least squares | 2次、最小二乗 |
| Celllimited least squares | Least squaresのセル限定版 |
| Fourth gradient | 4次、最小二乗 |
Gaussは、セル中心からフェース中心への補間を必要とするガウス積分を用いた標準的な有限体積離散化を表します。どれを選択するか不安な場合はGauss linear、より高次のスキームを必要とする場合はLeast squaresの使用を推奨します。
また、より良い安定性とロバスト性を得るために、Celllimitedバージョンを使用することができます。Limitter coefficient: 1.0は完全な境界を意味し、0は境界がないことを意味します。
Divergence (発散)
Divergence (発散)スキームはナビエ・ストークス方程式の対流項 (\(\nabla\cdot(\rho U U)\))の計算に用いられます：
| スキーム | 数値的挙動 |
|---|---|
| Linear | 2次、Unbounded |
| Skew linear | 2次、(より) Unbounded、歪度補正 |
| Cubic corrected | 4次、Unbounded |
| Upwind |
1次、Bounded |
| Linear upwind | 1次/2次、Bounded |
- Gauss upwind：1次、Bounded、一般にロバストですが精度が落ます
- Gauss linear：2次、Unbounded、正確ですがロバストではありません
- Gauss linear upwind：2次、アップウィンドバイアス、Unbounded、速度勾配の離散化を指定する必要がある。
- Gauss limited linear：勾配が急激に変化する領域で風上に向かって制限する線形スキーム。係数を必要とし、1が最も強く制限し、係数が0になるにつれて線形にシフトする。
- Gauss linear upwind v \(\nabla u\)：2次、アップウィンド、Bounded、安定した2次線形スキームに適しています。
Laplacian (ラプラシアン)
典型的なラプラシアン項\(\nabla\cdot(\nu\nabla U)\)は、運動量方程式の拡散項です。これはLaplacian スキーム によって計算されます。離散化にはGauss スキームのみが使用可能で、さらに拡散係数のためのInterpolation スキームとSurface-normal Gradient スキームの両方を選択する必要があります：
| スキーム | 数学用語のカテゴリー |
|---|---|
| Corrected | Unbounded、2次、保守的 |
| Uncorrected | Bounded、1次、非保存的 |
| Limited \(\psi\) | CorrectedとUncorrectedのブレンド |
| Bounded | Boundedスカラーの1次 |
- Gauss linear corrected：補正された勾配を持つ2次精度です。
- Gauss linear limited corrected 0.5：2次、補正、limitter value 0.5
Interpolation (補間)
Interpolation (補間)スキームは、セル中心からフェース中心への補間値を定義します。これらは主にフラックス計算のためのフェース中心への速度計算に使用されます。多くのInterpolation (補間)スキームがありますが、すべてデフォルトのスキームは「線形補間」すなわち2次補間スキームです。
Surface-normal Gradient (表面法線勾配)
Surface-normal Gradient (表面法線勾配)はセル面において計算され、2つのセルの中心における値の勾配の、面に垂直な成分として定義されます。
| スキーム | 説明 |
|---|---|
| Corrected | 明示的な非直交補正 |
| Uncorrected | 非直交補正なし |
| Limited \(\psi\) | 限定的な非直交補正 |
| Bounded | 正のスカラーに対するBounded補正 |
精度を維持するための補正スキームとして知られる明示的な非直交補正を直交成分に加えることができます。70°を超えると、明示的な補正が大きすぎて解が不安定になることがあります。その後、係数 \(\psi\), \(0\leq\psi\leq1\) を必要とする限定スキームを適用することにより、解を安定化させることができる：
- \(\psi=0\) : 未補正に相当します
- \(\psi=0.333\)：非直交補正\(\leq0.5\times\)直交部分
- \(\psi=0.5\) : 非直交補正\(\leq\)直交部分
- \(\psi=1\) : 補正
通常、\(\psi\)は0.33か0.5を選びます：
- 0.33は高い安定性
- 0.5は大きな精度