この記事では、多孔質モデルDarcy-Forchheimer mediumのDarcy係数とForcheimer係数を予測する方法を説明します。この経験式は単相流にのみ適していることに注意してください。
解析的アプローチ
Darcy-Forchheimer方程式は経験式であり、多孔質体を横切る摩擦による圧力損失と多孔質体内部の流速を 関係付けるものです。
$$\Delta P = \mu \cdot d \cdot L \cdot u + \frac{\rho }{2} \cdot f \cdot L \cdot u^{2} \tag{1}$$
摩擦は、せん断力と圧力の組み合わせによって発生します。せん断力が一次方程式(Darcy方程式)で表されるのに対し、圧力は二次方程式(Forchheimer方程式)で表されます。したがって、\(d\) は線形抵抗係数(Darcy係数)であり、\(f\) は二次抵抗係数(Forchheimer係数)です。
空隙率
空隙率とは、多孔質材料中の空隙または空隙率の尺度です。単位厚さのPerforated plate (穴あきプレート)の場合、空隙率は次のように数学的に記述できます:
\[\phi=\frac{穴あきプレートの穴の面積}{穴あきプレートの全面積(穴部分も含む)}\]
円形の穴の場合、水力直径は穴の直径。非円形の導管の場合、以下の式で水力直径を計算できます:
\[d_{h} = \frac{4 \cdot 穴の面積}{濡れ縁長さ}\]
または
\[d_{h} = \frac{4\cdot 穴の体積}{濡れ表面積}\]
ここで、\(d_h\) は水力直径、\(L\) は多孔板の厚さ。
| Unconsolidated porous media (非固体多孔質媒体) |
|
非固体多孔質体は、固体粒子がベッドの中に詰まったものです。流体はこれらの粒子の周囲を流れます。
媒質が均一な球状粒子で構成されている場合、平均粒子径(球状粒子)は以下のように求めることができます: \[d_m=\frac{3\cdot(1-\phi)\cdot d_h}{2\cdot \phi}\] Darcy係数とForchheimer係数は以下のように計算できます:
\[d = 150 \cdot \frac{(1-\phi )^{2}}{\left ( \phi^{3} \cdot d_{m}^{2} \right )} \tag{2}\] \[f = 3.5\cdot\frac{(1-\phi)}{(\phi^3\cdot d_m)}\tag{3}\] |
圧力損失と流量および形状の相関を調べるために、さまざまな研究が行われました。ここでは、2つの方法のみを紹介しますが、文献調査により、特定の多孔板の形状と流量条件に対して、簡便な経験式を見つけることができます:
1st モデル
1stモデルの方程式は、Idelchik\(^1\) によって提案された単純なアプローチです。以下の範囲はIdelchikの方程式の利用可能性を表しています:
\[0< \frac{L}{d_{h}}< 0.015 and Re> 10^{5}\]
抵抗係数 :
\[k = \left [ 0.707 \cdot \left ( 1-\phi \right )^{0.375} +1 – \phi^{2} \right ] \cdot \frac{1}{\phi^{2}}\]
ここで、\(\phi \) は空隙率(開孔面積率)、\(k\) は耐圧係数です。
Idelchikの式は、Forchheimer係数として使用するために以下のように修正することができます:
Idelchikの圧力係数は2次抵抗係数であるため、Darcy係数をゼロと仮定することができます:
\[\Delta P=\frac{\rho}{2}\cdot f\cdot L\cdot u^2\]
2ndモデル
2ndモデルの方程式は少し複雑で、薄い多孔板と厚い多孔板を区別するためにモデル化されています\(^2\) :
放電係数\(\alpha\) :
\[\alpha=0.6+0.4\cdot \phi^2\]
薄板は比較的穴が大きいと仮定します。薄板\((L/d_h)→0\)の場合、抵抗係数は:
\[\alpha=0.6+0.4\cdot \phi^2\]
\[k=\left(\frac{1}{\alpha}-1\right)^2\]
厚い板には比較的小さな穴があると仮定します。厚い板\((L/d_h)\gg0\)では抵抗係数:
\[k=\left(\frac{1}{\alpha}-1\right)^2+(1-\phi)^2\]
抵抗係数をForchheimer係数として使用するには、以下のように修正します:
\[f=\frac{k}{\phi^2\cdot L}\tag{5}\]
この方法による圧力損失も2次関数であるため、Darcy係数はゼロとして定義します:
このスプレッドシートを使って、\(d\) と\(f\) を計算できます。
参考文献
- Idelchik, I. E., Handbook of hydraulic resistance, third edition, CRC Press Inc.
- Kast W., (Revised by Hermann Nirschl), Gaddis E.S., Wirth KE., Stichlmair J. (2010) L1 Pressure Drop in Single-Phase Flow.In: VDI e. V. (eds) VDI Heat Atlas.VDI-Buch.Springer, Berlin, Heidelberg
- R.Bird, E. Lightfoot and W. Stewart, Transport phenomena, 2nd ed. New York: Wiley, 2007, pp.190,191.