k-epsilon 乱流モデル

SimScaleでは、数値流体解析（CFDシミュレーション）における 乱流効果をさまざまな方法でモデル化できます。SimScale CFDソルバーでは、広く受け入れられている乱流モデルの独自バージョンを提供しています。このドキュメントでは、一般的なk-epsilon乱流モデルについて説明します。

概要

レイノルズ平均ナビエ・ストークス(RANS)方程式をテンソル形式で表します\(^1\) :

$$ {\frac{\partial (\rho U_i)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_iU_j)}{\partial x_j}} = -\frac{\partial P}{\partial x_i} + {\frac{\partial}{\partial x _ j}\left[\mu\left(\frac{\partial U _ i}{\partial x _ j} + \frac{\partial U _ j}{\partial x _ i}\right) – \rho \overline{{u_i}'{u_j}’}\right]} \tag{1} $$

ここで、

• \(U\) = 平均流速
• \(u’\) = 乱流による速度変動
• \(\mu\) = 分子粘性
• \(-\rho \overline{{u_i}'{u_j}’}\) = レイノルズ応力項

レイノルズ平均化処理により、レイノルズ応力という応力項が追加されます。RANS方程式を解くには、レイノルズ応力を平均流量の項で表現する必要があります。

レイノルズ応力項の解は、渦粘性近似/ブシネスク近似\(^1\) によって次のように与えられます。

$$-\rho \overline{{u_i}'{u_j}’} = \mu_t\left(\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+ \frac{\partial U_j}{\partial x_i} -\frac{2}{3}\frac{\partial U_k}{\partial x_k} \delta_{ij} \right) -\frac{2}{3} \rho k \delta_{ij} \tag{2}$$

ここで

• \(\mu_t\) = 乱流粘度または渦粘度
• \(\delta_{ij}\) = クロネッカーのデルタ

$$ \delta_{ij} =
\begin{cases}
1, & \text{if $i=j$
\(\to\) 法線成分} \\[2ex]
0, & \text{if $i \neq j$ \(\to\) せん断成分}
\end{cases}$$

式2は、レイノルズ応力のせん断成分と法線成分を組み合わせた式です。式2を見ると、乱流粘性率\((\mu_t)\)を解けば、RANS方程式1を解くことができることがわかります。

したがって、乱流モデルの違いは、乱流粘性の計算方法です。

k-epsilon乱流モデル

乱流のk-epsilon (\(k-\epsilon\))モデルは、乱流状態の平均流特性をシミュレーションする最も一般的なモデルです。これは、レイノルズ応力を計算するために使用される乱流モデルのクラスである渦粘性モデルです。

これは2方程式モデルです。つまり、保存方程式に加えて、対流や乱流エネルギーの拡散のような歴史的効果を考慮した2つの輸送方程式(PDE)を解きます。2つの輸送変数は、乱流のエネルギーを決定する乱流運動エネルギー(\(k\))と、乱流運動エネルギーの散逸速度を決定する乱流散逸速度(\(\epsilon\))です。

k-epsilonモデルには、標準モデル、Realizableモデル、RNGモデルなど、さまざまな種類があり、それぞれ特定の流体条件下でより優れた性能を発揮するように修正されています。SimScaleでは、標準モデル (k-epsilon)とRealizableモデル (k-epsilon Realizable)を利用できます。

標準モデル (k-epsilon)

乱流変数の輸送方程式

乱流運動エネルギーの輸送方程式は次式で与えられます。\(^2\)

$$ {\frac{\partial (\rho k)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_ik)}{\partial x_i}} = {\frac{\partial}{\partial x _j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_k} \right){\frac{\partial k}{\partial x_j}}\right] + P_k + P_b -\rho \epsilon +S_k \tag{3} $$

ここで

• \(P_k\) = 平均せん断流速による乱流運動エネルギーの生成
• \(P_b\) = 浮力による乱流運動エネルギーの生成
• \(S_k\) = ユーザー定義ソース
• \(\sigma_k\) = \(k\)の乱流プラントル数

乱流散逸率の輸送方程式は次式で与えられます。\(^2\)

$$ {\frac{\partial (\rho \epsilon)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_i \epsilon)}{\partial x_i}} = {\frac{\partial}{\partial x _j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_\epsilon} \right){\frac{\partial \epsilon}{\partial x_j}}\right] + C_1 \frac{\epsilon}{k}(P_k +C_3P_b) -C_2 \rho \frac{\epsilon^2}{k} + S_\epsilon \tag{4} $$

ここで

• \(C_1, C_2, C_3, C_\mu\) は 乱流モデル内で変化するモデル係数\(k-\epsilon\)
• \(S_\epsilon\) = ユーザー定義ソース
• \(\sigma_\epsilon\) = \(\epsilon\)の乱流プラントル数

乱流粘性のモデル化

古い乱流モデルでは、乱流(渦)粘度を解くために混合長アプローチを使用していました。\(k-\epsilon\) 乱流モデルでは、代わりに乱流散逸率を解きます。

乱流エネルギー\(k\) は次の式で与えられます:
$$k=\frac { 3 }{ 2 } { \left( UI \right) }^{ 2 }\tag{5}$$
\(U\) は平均流速、\(I\) は乱流強度です。

乱流強度は次のように定義されます:
$$I = \frac { u’ }{ U }\tag{6}$$
\(u’\) は乱流速度変動の二乗平均平方根で、次のように与えられます:

$$u’ = \sqrt { \frac { 1 }{ 3 } \left( { { u’ }_{ x } }^{ 2 } + { { u’ }_{ y } }^{ 2 } + { { u’ }_{ z } }^{ 2 } \right) } =\sqrt { \frac { 2 }{ 3 } k }\tag{7}$$

平均速度\(U\) は次のように計算できます:
$$U = \sqrt { { { U }_{ x } }^{ 2 }+{ { U }_{ y } }^{ 2 }+{ { U }_{ z } }^{ 2 }}\tag{8}$$

$$\epsilon ={ { C }_{ \mu } }^{ \frac { 3 }{ 4 } }\frac { { k }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ l }\tag{9}$$
\({ { C }_{ \mu } }\) は乱流モデル定数、\(l\) は乱流の長さスケール。

乱流の長さスケールは、乱流中の大きなエネルギーを含む渦の大きさを表します。

したがって、乱流粘性率\(\mu_t\) は次のように計算されます:

$$\mu_{t} = C_\mu \rho \frac{k^2}{\epsilon}\tag{10}$$

モデル係数は、実験から導き出され、時間の経過とともに進化してきました。現在最も広く受け入れられている値は、Launder and Sharma (1974)の以下の通りです:

表 1: Launder and Sharma (1974) による乱流プラントル数とモデル係数の値\(^4\)

\(\sigma_k\)	\(\sigma_\epsilon\)	\(C_1\)	\(C_2\)	\(C_\mu\)
1	1.3	1.44	1.92	0.09

低レイノルズ数定式化

\(k-\epsilon\) モデルでは、モデル係数\(C_1, C_2, C_\mu\) は減衰されます。減衰関数はそれぞれ\(f_1, f_2, f_\mu\) と呼ばれ、ソルバーによって異なります。したがって, この乱流モデルは粘性下層 (y+<5) にも適用できます.これは低レイノルズ数(low-Re)定式化と呼ばれます。\(^2\)

なお、Realizableモデル や k-omega SST のような、壁に近い流れ(y+ <5または<1)に適した、より性能の高いモデルもありますのでご注意ください。

 

応用例

\(k-\epsilon\) モデルは、圧力勾配が比較的小さい流れのような自由せん断流れに対して信頼できることが示されています。流れの分離や再付着が存在しない高Re(高レイノルズ数)アプリケーション(y+ > 30)に適しています。

標準モデルは、逆圧力勾配、大きな分離、再付着、軸対称ジェット、強い曲率を持つ複雑な流れを含む問題には最適なモデルではない可能性があります。

Realizableモデル (k-epsilon Realizable)

標準モデルは壁に近い流れ(y+ <5または<1)では、壁のせん断応力を正確に捉えられないことが判明しているため、推奨されません。

Realizableモデルは、レイノルズ応力に関する数学的制約を満たすことによって標準モデルの欠点を克服するために開発され、乱流の物理学と一致しています。

乱流変数の輸送方程式

乱流運動エネルギーの輸送方程式は、標準モデルとRealizableモデルの間で変わりません(式 3 を参照)。しかし、散逸率の輸送方程式は、Realizableモデルで変更され、\(^3\) で与えられます:

$$ {\frac{\partial (\rho \epsilon)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_i \epsilon)}{\partial x_i}} = {\frac{\partial}{\partial x _j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_\epsilon} \right){\frac{\partial \epsilon}{\partial x_j}}\right] + \rho C_1S_\epsilon -C_2 \rho \frac{\epsilon^2}{k+\sqrt{\nu\epsilon}} + C_1 \frac{\epsilon}{k}C_3P_b + S_\epsilon \tag{11} $$

標準モデルとRealizableモデルの散逸速度の比較\(k-\epsilon\)

式11が式4と大きく異なる点は、生成項\(P_k\) がないことと、破壊項の分母\((k+\sqrt{\nu\epsilon})\) に特異点がないこと、つまり\(k\) が消滅しても分母が消滅しないことです。これらの違いは、エネルギー移動を正確に予測する上で、Realizableモデルに有利に働くと言われています。

 

乱流粘性のモデル化

乱流粘性率\((\mu_t)\) は式 10 と同様に計算されますが、\(C_\mu\) は標準モデルのような定数ではありません。これは、系回転の角速度から得られる平均ひずみと回転率、および乱流場\(k\) と\(\epsilon\) の関数です。

\(C_1, C_2, \sigma_k, \sigma_\epsilon\) の値は、表1と同様です。

応用例

Realizableモデルは、回転する均質なせん断流、ジェットや混合層を含む自由流れ、流路や境界層の流れ、分離や再循環において、標準モデルを上回る性能を発揮することが検証されています。

Realizableモデルの欠点の1つは、Rotating zone (回転領域)を有するシミュレーションにおいて、乱流粘性率が非物理的な値になることです。これは、\(\mu_t\) の計算において、\(C_\mu\) が平均回転の影響を含み、余分な回転効果を与えるためです。

流入口の乱れ

与えられた問題を現実的にモデル化するためには、流入口の乱流強度を定義することが重要です。以下は、流入乱流強度の一般的な見積もりの例です:

• 高乱流(5%～20%): 複雑な形状の内部で高速流が発生するケース。例: 熱交換器、ファンやエンジンなどの回転機械の流れなど。
• 中乱流(1％以上5％未満) : それほど複雑でない形状や低速の流れ。例: 太いパイプ内の流れ、換気の流れなど。
• 低乱流(1％未満): 静止している流体や粘性の高い流体のケース。例: 自動車、潜水艦、航空機などの外部流れ。

ご存知でしたか？

管内の完全に発達した流れにおける管中心の乱流強度は以下の式で推測されます。

$$I=0.16 { { Re }_{ { d }_{ h } } }^{ -\frac { 1 }{ 8 } }\tag{12}$$

ここで、\({ { Re }_{ { d }_{ h } } }\) は水力直径\({ { d }_{ h } }\) のパイプのレイノルズ数です。

この場合の乱流の長さスケールは以下の式で表されます。

$$l=0.07{ d }_{ h }\tag{13}$$

SimScaleでのk-epsilonモデルの適用

k-epsilon乱流モデルは、シミュレーション設定の最初に、グローバル設定パネルで選択する必要があります。これを下図に示します:

図1: ドロップダウン記号(丸印)をクリックして、グローバル設定の Turbulence model (乱流モデル)で k -epsilon モデルのいずれかを選択します。

標準のk-epsilon乱流モデルはすべてのCFD解析タイプで利用でき、RealizbleモデルはIncompressible (非圧縮性)解析タイプで利用できます。

デフォルトでは、SimScaleは問題の領域に応じて乱流変数\(k\) および\(\epsilon\) の初期値を定義します。必要であれば、 Initial conditions (初期条件)で変更することができます。さらに、これらの乱流変数の境界条件を特別に定義したい場合は、Custom (カスタム)境界条件を使用できます。

参考文献

• "[CFD] Eddy Viscosity Models for RANS and LES." Fluid Mechanics 101. Febrary 24, 2021.
• "[CFD] The k-epsilon Turbulence Model." Fluid Mechanics 101. june15, 2019.
• 12.4.1 Stadard k-epsilon model overview - UW cources web server
• B.E. Launder and B. I. Sharma, "Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc", Letters in Heat and Mass Transfer, 1974, 1, pp.131-138, 1974.
• Bardina, J.E., Huang, P.G., Coakley, T.J., "Turbulence Modeling Validation, Testing, and Development", NASA Technical Memorandum 110446, 1997.
• Wilcox, David C, "Turbulence Modeling for CFD". Second edition. Anaheim: DCW Industries, pp.174, 1998.
• http://www.cfd-online.com/Wiki/Turbulence_free-stream_boundary_conditions