Electromagnetics: 電磁界解析

概要

Electromagnetics (電磁界)ソルバーは、電磁気現象をクラウド上でシミュレーションするための強力なツールを提供することを目的としています。現在のSimScaleでは静電場・静磁場と低周波から定常状態の熱連成をサポートしています。

今後は、熱連成を過渡および電場解析に拡張し、構造との連成、高周波といった領域へ対応するモジュールが追加されていく予定です。

図1: スイッチドリラクタンスモータの磁束密度分布

以下では、SimScaleプラットフォームで電磁界シミュレーションをセットアップする手順を説明します。

電磁界解析の作成

電磁界解析を作成するには、まず目的のジオメトリを選択し、 Create Simulationをクリックします:

図2: SimScaleでシミュレーションを作成する手順

次に、SimScaleでサポートされている解析タイプのリストが表示されます:

図3: SimScaleで利用可能なシミュレーション解析タイプのリスト

Electromagnetics解析タイプを選択し、 Create Simulationをクリックします。シミュレーションツリーが開き、シミュレーションの定義に必要なステップが表示されます。

図4: SimScale WorkbenchのElectromagnetics解析のシミュレーションツリー

Global settings

グローバル設定にアクセスするには、シミュレーションツリーのトップ (デフォルトでは Electromagnetics と表示される) をクリックします。グローバル設定では、シミュレーションで支配的となる分野・現象を選択します。

磁場ソルバー

現在は、低周波磁場をターゲットとするシミュレーションモデルが提供されています。

• Magnetostatics: 静磁場解析。磁場は時間に対して一定であり、渦電流は生じない。直流電流。
• Time-Harmonic Magnetics: 周波数応答解析ソルバー。磁場と電場が周波数によって変化する場合。例）電磁誘導
• Time-Transient Magnetics: 過渡応答解析ソルバー。磁場と電場が時間経過に伴って変化する場合。例）パルス電流・パルス電圧による磁場の変化

Magnetostatics と Time-Harmonic Magnetics では、定常熱伝導ソルバーとの連成が可能です。熱については、抵抗損失、コア損失、変位損失などの電磁損失を考慮できます。

電場ソルバー

現在、静電平衡と静電容量マトリックス計算における電界、電荷、およびそれらの相互作用をターゲットとした静電ソルバーを提供しています。

• Electrostatics: 静電場解析。電場と電荷は一定であり、時間変化しない場合。

図5: Electromagnetics のグローバル設定パネル

Geometry

Geometry セクションでは、シミュレーションに必要なCADモデルを表示、選択することができます。メッシングやシミュレーション関連のエラーを避けるために、CADモデルが十分に準備されていることが重要です。CADの準備とアップロードに関する詳細は こちらをご覧ください。

Materials

このステップでは、シミュレーションに選択した解析タイプに関連する材料特性に基づいて材料を定義できます。SimScaleには、便利で迅速な材料選択を可能にするデフォルトの材料ライブラリがあります。さらに、ユーザーはカスタムマテリアルを自由に作成することができ、繰り返し使用するために個人用材料ライブラリに保存することができます。

静磁場シミュレーションでは、材料はその Material behavior (材料挙動)をSoft Magnetic (軟磁性)またはPermanent Magnet (永久磁石)に区別する必要があります。どちらの場合も、材料のElectric conductivity (導電率)と透磁率を定義する必要があります。Permanent Magnet (永久磁石)の定義には、永久磁石の Remanence (レマネンス)と Magnetization direction (磁化方向)の 2 つの追加入力も必要です。

図 6: Soft Magnetic (軟磁性)材料とPermanent Magnet (永久磁石)材料のセットアップの比較

以下では、材料のセットアップに使用される用語について簡単に説明します。

Soft magnetic (軟磁性)

軟磁性材料とは、磁化と減磁のプロセスを容易に経る物質を指し、通常、1000\(\frac{A}{m}\) 未満の固有保磁力を特徴とます。固有保磁力とは、磁性材料が磁化された後、磁化をゼロにするのに必要な最小磁場強度のことで、磁化を失うことに対する材料の抵抗力を示します。

このような材料は、主に電流によって発生する磁束を増強または誘導するために使用されます。軟磁性材料を評価する上で重要なパラメータは、印加された磁場に対する応答性を測定する相対透磁率\(\mu_r\) です。

軟磁性材料の用途は、主に2つのタイプに分類できます: 直流 (DC) と交流 (AC) です。直流用途では、材料は特定の作業のために磁化され、作業が終わると消磁されます。例えば、スクラップ置き場のリフティング・マシンの電磁石は、スクラップの鋼鉄を引き寄せるために磁化され、鋼鉄を落とすために消磁されます。

ACアプリケーションでは、電源トランスのようなデバイスに見られるように、軟磁性材料はその動作サイクルを通じて異なる方向に繰り返し磁化されます。直流と交流のどちらの用途でも、高い透磁率が望まれますが、他の材料特性の重要性は異なります。

直流用途では、特に磁束の制御が不可欠なシールド用途では、材料選択の際に透磁率を第一に考慮することがよくあります。飽和磁化は、材料が磁場や力を発生させることを意図している場合にも役割を果たすことがあります。

交流用途では、周期的な磁化過程におけるエネルギー損失を最小限に抑えることが重要です。これらの損失は、ヒステリシス損失(ヒステリシスループ内の面積に関連)、渦電流損失(材料に誘導される電流と抵抗損失に関連)、異常損失(材料内の磁壁移動に関連)の3つの原因から発生します。

Permanent Magnet (永久磁石)

永久磁石は、電気モーターや発電機から磁気記憶装置や医療用画像機器に至るまで、様々な用途で極めて重要な役割を果たしており、現代技術の基本的な構成要素となっています。これらの材料は、外部電源を必要とせずに持続的な磁場を持つという驚くべき特性を示します。この永続的な磁場が、外部磁場にさらされたときにのみ磁気特性を示す一時的な磁石とは異なる永久磁石の特徴です。

この特性は、高温や強い反対磁界などの外的要因にさらされない限り固定されたままである、材料内の磁区の配列から生じます。永久磁石に使用される一般的な材料には、ネオジム-鉄-ボロン(NdFeB)、サマリウム-コバルト(SmCo)、フェライト磁石などがあります。

永久磁石の向きとトポロジー

現在のところ、磁化方向は直交座標でのみ指定でき、磁石が直接整列していない場合はカスタムベクトルを入力することができます。これは、永久磁石の表面から放出される磁場が一定であることを意味します。湾曲したトポロジーを持つ永久磁石(磁場は湾曲した領域の近くに集中する傾向がある)のシミュレーションは近日中に対応予定です。

Magnetic permeability (透磁率)

Magnetic permeability (透磁率)は、記号\(\mu\) で示され、磁場の存在下で材料がどれだけ磁化されやすいかを示す尺度です。透磁率は、印加された磁場にさらされたとき、材料がそれ自身の中で磁束の形成をサポートする能力を定量化したものです。透磁率の高い材料は、他の材料よりも磁束を通しやすくなります。

透磁率は、媒質が等方性であればスカラー、そうでなければ3×3のマトリックスです。電気的な誘電率とは異なり、透磁率は、特に鉄鋼や鉄(強磁性材料)においては、しばしば非線形性の高い量となります。

数学的には、透磁率は物質内の磁束密度\(\textbf{B}\) と磁場強度\(\textbf{H}\) の比として定義されます:

$$ \mu = \frac{\textbf{B}}{\textbf{H}} $$

測定単位: 透磁率のSI単位はヘンリー毎メートル(Henry per meter)\([\frac{H}{m}]\) 、または同等にテスラメーター毎アンペア(Tesla meter per ampere)。\([\frac{T.m}{A}]\)

透磁率の種類:

1. 絶対透磁率(\(\mu\)): 材料単体の磁気応答を表し、磁性材料の特性評価に一般的に使用されます。
2. 相対透磁率(\(\mu_r\)): 材料の磁気応答と自由空間(または真空)の磁気応答を比較する無次元量。材料の絶対透磁率 (\(\mu\)) と自由空間の透磁率 (\(\mu_0\)) の比として定義され、\(\mu_0\) = 4π × 10-⁷\(\frac{H}{m}\) と表記されることがよくあります。
   $$ \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} $$

透磁率は非常に小さな数値であるため、Relative magnetic permeability (相対透磁率)は材料の定義に最も一般的に使用されるパラメータです。

セットアップでは、Nagnetic permeability (透磁率のタイプ)を選択することができ、Linear isotropic (線形等方性)またはNon-linear isotropic (非線形等方性)の いずれかを選択します。前者では、Relative magnetic permeability (相対透磁率)の一定値が定義され、後者ではB-H曲線がアップロードされます。

図6は、線形透磁率と非線形透磁率の材料定義の比較を示しています。

図7: Nonlinear(非線形)(左)とLinear(線形)(右)のMagnetic permeability(透磁率)材料定義の比較

図8は非線形透磁率のテーブル入力です。\(\textbf{H}\) と\(\textbf{B}\) の単位は、それぞれ\(\frac{A}{m}\) と\(T\) または\(\frac{V.s}{m^2}\) のように SI 単位で指定する必要があります。

図 8: 非線形透磁率のテーブル入力

\(\textbf{B}\)\(\textbf{H}\) -曲線データのアップロード

\(\textbf{B}\)\(\textbf{H}\) -曲線データをインポートする際に満たす必要がある主なルールは2つあります:

• 最初の点は常に座標 (0,0) でなければなりません。
• \(\textbf{B}\) と\(\textbf{H}\) はともに単調増加である必要があります。

Remanence (レマネンス)

残留磁束(\(B_r\) )は、磁気および材料科学の分野における基本的な概念で、外部磁界を取り除いた後でも、ある種の材料が永久磁化を保持する現象を表します。この永続的な磁化は、材料の原子または分子構造内の磁気モーメントの配列から生じます。簡単に言えば、 Remanence (レマネンス)の値が高いほど磁石は強いということです。

例えば、磁気記憶装置における磁気メモリや、日常的に使用される磁石や磁化されやすい材料は、レマネンスの結果です。この残留磁化を除去する必要がある場合、材料を負の誘導磁界にかけることで実現できます。

残留磁化の概念は、以下の図 9 に示す磁気ヒステリシス曲線によって理解しやすくなります。ヒステリシス曲線は、磁界の強さ\(\textbf{H}\) と、その結果材料に生じる磁気誘導\(\textbf{B}\) の関係を示しており、材料が磁化および減磁される際にどのように反応するかを示しています。

図9: 磁化力\(\textbf{H}\) と磁束密度\(\textbf{B}\) ^.2 の関係を示す磁気ヒステリシスループ。

一度も磁化されたことがない、あるいは完全に減磁された強磁性体の場合、\(\textbf{H}\) を増加させると破線に従います。この線は、印加する磁化力または電流(\(\textbf{H}\)+)が大きいほど、部品内の磁場(\(\textbf{B}\)+)が強くなることを示しています。

a点では、ほぼすべての磁区が整列しており、磁化力をさらに増加させても、追加磁束は最小限に抑えられます。これが材料の磁気飽和状態です。

\(\textbf{H}\) がゼロになると、曲線は a 点から b 点にシフトします。曲線の交点 bでは、磁化力がゼロであるにもかかわらず、材料内に残留磁束\(\textbf{B}\) が残っていることがわかります。この点は、グラフ上では残留性または保持性として知られ、材料のレマネンスまたは残留磁性の度合いを意味します。

磁化力が逆転すると、曲線は c 点まで進み、そこで磁束はゼロになります。これは曲線上の保磁力と呼ばれ、反転した磁化力が材料内の正味の磁束を無効にするのに十分なドメインを反転させたことを示しています。材料から残っている磁気を除去するのに必要なエネルギーは、Coercive (保磁力)と呼ばれます。

ヒステリシス曲線上の硬磁性材料と軟磁性材料

一般的に、硬磁性材料は永久磁石と呼ばれ、非線形挙動を示す場合、第2象限から始まるB-H曲線を示します。一方、永久磁石とは異なる軟磁性材料と呼ばれる磁石もあり、そのB-H曲線は第1象限に限定されます。

Electrical conductivity (電気伝導率)

Electrical conductivity (電気伝導率=導電率)は、比コンダクタンスまたは単に伝導率とも呼ばれ、電流を流す材料の能力を指します。物質の基本的な特性であり、電荷の流れやすさを決定します。電気伝導率は通常、1メートルあたりのシーメンス単位で測定されます。\([\frac{S}{m}]\)

固体材料では、電気伝導率は電子やイオンなどの荷電粒子の動きに影響されます。金属は、原子構造に緩く結合した自由電子が存在するため、優れた電気伝導体です。金属に電位差(電圧)がかかると、これらの自由電子が自由に移動して電荷を運ぶことができるため、高い導電性が得られます。

一方、絶縁体は電子が原子構造が強固に結合しているため、電子が動きにくく、電気伝導性が非常に低い。絶縁体の例としては、プラスチック、ゴム、ガラス、セラミックなどが挙げられます。これらの材料は電流の流れを妨げ、その電気伝導性は実用上無視できるほど小さいのが一般的です。

しかし半導体は、電界や特定の周波数の光にさらされるなどの要因によって大きく変化する中間レベルの電気伝導性を持っています。

電気伝導率は、電気伝導、交流磁気、過渡磁気研究などの分析に応用できます。

Coil (コイル)

Coil (コイル)は、導体(多くの場合銅線)が中心にあるコアに複数回巻かれた構成を指します。これらの巻線に電流が流れると、集合的に磁場が発生します。この現象は電磁気学における様々な応用の基礎となります。

コイルのモデル化：Solid (ソリッド) と Stranded (コイルモデル)

SimScaleでのコイルのモデル化手法は、大きく分けて2種類あります。 Solid (ソリッド) と Stranded (ストランデッド、巻線コイルモデル) です。 Coil type という設定項目より、この二種類どちらのモデル化手法を用いるのか選択します。この選択によって、用意するCADモデルも異なります。

Solid は 、1本の連続した導体形状すなわち電流の経路を3Dモデル化します。電流密度(単位断面積あたりの電流量として定義)は導体の形状によって変化するように計算されます。導体の材質や断面寸法に違いがある場合は電流分布は不均一になり、電流密度も不均一になります。

図10: Solid ソリッドコイルの例

Stranded (巻線コイルモデル)とは、一般的に銅線などの導体を円筒状のコアやボビンに複数巻き付けることによって形成されるコイルの体積モデリングを指します。 巻線コイルの定義では、巻線コイルのワイヤを等価なサイズの単純形状に置き換えるだけで、実際に巻線コイルの3Dモデルを作成することなくモデル化を簡素化できます。

例えば、以下の図 11 は、複雑な巻線コイルと単純な巻線コイルのモデリングアプローチの違いを示しています。この例では、2つの異なるモーターのモデル形状が示されています。一方は実際の導線の巻き方に忠実にモデル化され、もう一方はコイルを等価なボリュームとしています。後者のモデル化では、シミュレーションセットアップでそのボリュームに含まれるの素線の巻数を指定します。

図 11: CADモデリングにおける複雑な巻線コイルと単純な巻線コイルの比較

Stranded タイプの定義を使用すると、ジオメトリの作成プロセスが簡素化されるだけでなく、メッシュ要素数とシミュレーション計算時間の両方が短縮されます。このアプローチでは、単一または複数のボリュームでコイルの挙動を模擬する設定を作成できるため、手作業で撚り線ごとにモデル化する必要がなくなります。さらに、複雑なコイルを詳細にモデリングする場合、各巻線をコイルとして定義する必要があります。その場合、コイルは Solid として定義することも、1ターンの Stranded タイプとして定義することもできます。しかし、定義する必要があるコイルの数が多いため、詳細なアプローチは単純なモデル化よりも設定に時間がかかります。

次に、これらのコイルのモデル化の違いによる電流分布の違いが、結果として生じる磁場に影響を与えます。 Solid では、不均一な電流密度が不均一な磁場発生につながり、電流密度が大きいところでは磁気の影響が強く、小さいところでは磁気効果が弱くなります。対照的に、 Stranded タイプでは電流密度が均一であるため、一般により均等に分布した磁場が発生します。

Stranded モデルのコイルに流れる総電流は、単純に1ターンあたりの電流に総ターン数を掛けたものです: \(I = \frac{current}{turn} * N\)

Solid モデルの場合、総電流は単純に、電流\(I\)です。つまり、巻線コイルでもソレノイドでも、結局は正味の電流は同じであることが期待されます。

ここで、シミュレーションに応用する場合、 Solid と Stranded モデルコイルの違いを説明します。

これらのコイルタイプの違いによる影響は、選択された解析タイプ (Magnetostatics, Time-harmonic magnetics, Time-transient maginetics) によって異なります。

Magnetostatics (静磁場解析) では、誘導電流が存在しないため、コイル内の全電流は単純に印加電流と等しくなります。前述のように、電流密度分布は Stranded モデルのコイル内では一様ですが、 Solid モデルのコイル内では変化します。その結果、両者の磁界にはわずかな差が生じます。一方、インダクタンスは巻数に依存するため、 Solid と Stranded では異なります。

Time-Harmonic Magnetics (周波数応答解析) では、まったく異なります。 Stranded モデルでは、それぞれの導線の直径は表皮深さよりも小さく、一巻きごとにそれぞれは絶縁されます。したがって、 Stranded モデルでは誘導電流である渦電流は考慮されません。反対に、 Solid モデルでは導体のサイズは表皮深さよりも大きいことが多く、渦電流が生じます。渦電流は通常、コイルに印加される電流と逆の向きに流れます。

コイルのセットアップ

SimScaleでのコイルの設定は、2つの基本的なパラメータを中心に展開されます: Coil type (コイルタイプ)と Topology (トポロジー)です。これらのパラメータは、シミュレーションでのコイルの挙動を決定します。

Coil type (コイルタイプ)

Coil type (コイルタイプ)パラメータは、コイルを2つのカテゴリーに分類します: Solid (ソリッド)とStanded (巻線コイル)です。この分類は、コイルの構造構成と、その後の電磁界内での動作を定義します。

Solid では、正味の(I)Current (電流) または (U)Voltage (電圧)による Excitation (励磁)のみを定義します。一方、Standed では、 Excitation (励磁)の他に Number of turns (巻数)と Wire diameter (線径)の2つのパラメータを追加する必要があります。

• Excitation (励磁) :
  • (I)Current (電流) :
    • Solid の場合: コイルを流れる正味電流
    • Stranded の場合: 1巻きあたりの電流を指定
  • (U)Voltage (電圧): コイルの端部間の電位差。電圧の定義に抵抗値を追加することもできます。
• Number of turns (巻数): コアまたはボビンに巻かれたワイヤーの巻数。
  例えば、4本の撚り線の束がコアに50回巻かれている場合、巻数は200ではなく50となります。
• Wire diameter (ワイヤーの直径): 丸線の断面の直径。

図11: Standard (巻線コイル)とSolid (ソレノイド)のセットアップの比較。

1つのコイルセットアップで複数のコイルボディの電流を指定

コイルセットアップで指定される電流値は、そのセットアップ内のコイルボディの数で平均化されます。 例えば、内部に4つのコイルが定義されているコイルセットアップがある場合、4つの入口と4つの出口ポート、または4つの内部ポートを意味します。この場合、入力電流が100アンペアであれば、各コイルは25アンペアの電流値を受け取ることになります。 4つのコイルそれぞれに意図された電流が100アンペアであった場合、コイルセットアップの内部で与えられる値は400アンペアになるはずです。

パラメトリックシミュレーション

シミュレーションでは、電流入力をパラメータ化することができます。パラメトリックシミュレーションを使用すると、計算時間を大幅に節約し、複数の設定を並行して素早く設定、実行、結果比較することができます。 現在、SimScaleはシミュレーションseutpで1つのパラメトリック定義のみをサポートしています。つまり、複数のコイルの電流入力をパラメータ化することはできません。

 

Topology (トポロジー)

Topology (トポロジー) パラメータは、コイルを Open と Closed のどちらかを選択します。これは、コイルが閉ループとしてモデル化されるか、境界が開いている開ループかを定義します。

一般的に、正味電流はコイル内の電流の流れ方向に関する情報を提供しません。そのような情報を与えるのは電流密度です。したがって、電流の流れる方向を決定するポートまたはポートのペアを指定する必要があります。

• Closed: クローズドコイルは完全なループを形成し、コイル回路全体が接続されたループとしてモデル化されます。ここでは、Internal port (内部ポート)を定義する必要があります。
  クローズドループコイルの定義には、形状レベルでの検討が必要です。電流密度が入口に垂直に流れる、1つまたは複数の面で構成された平面入口に到達できるようにする必要があります。これは、コイルを2つ以上の部分に分割して内部面にアクセスできるようにすることで実現できます。
• Open: オープンコイルは、2つの明確な端部を持つオープントポロジーです。ここでは、 Entry port (入口ポート)と Exit port (出口ポート)を定義する必要があります。
  これらのポートは平面でなければならず、多くの面で構成することができます。電流密度は、 Entry port (入口ポート)には直交して流れ、 Exit port (出口ポート)からは 直交して流れます。したがって、ポートの指定は電流の流れの方向を与えます。

以下の図 12 は、Open(左)とClosed(右)のセットアップを比較したものです。オープンコイルのシナリオでは、コイルはモータの前面と背面に明確な入口ポートと出口ポートを持つオープンなトポロジーを持ちます。一方、クローズドコイルでは内部ポートが選択されています。

図12: オープンコイル(左)とクローズドコイル(右)のセットアップの比較

Boundary conditions (境界条件)

Boundary conditions (境界条件)は、システムが環境とどのように相互作用するかを定義することで、目の前の問題を解決するのに役立ちます。現在、Electromagnetics (電磁界)ソルバーでサポートされている境界条件は2種類あります:

図 13: Electromagnetics (電磁界)シミュレーションタイプの境界条件

Magnetic field normal (法線磁場)

この境界条件は法線磁場\(\textbf{H}\) の存在を強制し、与えられた面全体の接線磁場\(\textbf{H}\) を効果的に無効にします。法線磁場は、磁場\(\textbf{H}\) が純粋に法線である対称面に属するすべての面に適用されなければなりません。

Magnetic flux tangential (接線磁束)

この境界条件は接線磁束\(\textbf{H}\)の存在を強制し、与えられた面を横切る法線磁束\(\textbf{B}\) を効果的に無効にします。接線方向磁束は、磁束密度が純粋に接線方向である対称面に属するすべての面に適用されなければなりません。

コイルがバウンディングボックス(例えば流体ボリューム)の境界と接触しており、電流がその境界の法線方向に流れている場合、Magnetic flux tangential (接線磁束)を適用する必要があります。言い換えると、バウンディングボックスの外側の境界と一致する入口または出口ポートがある場合、その境界上のすべての面に接線方向のフラックス境界条件を割り当てます。

• この背景には、磁場\(\textbf{H}\)の循環が閉じた経路の周り 、その経路に囲まれた面を流れる電流に等しいというマクスウェル-アンペールの法則があります。これに基づいて、電流が流れる外部境界の代わりに法線境界条件が割り当てられるシナリオを考えてみましょう:
  • 正常磁界境界条件は、磁界\(\textbf{H}\)の接線成分がゼロであることを強制し、その磁界をコイルの境界を囲む経路上で積分するとゼロになり、マクスウェル-アンペールの法則に矛盾します。

これらの境界条件を適用するときは、外部境界のすべての面に適用する必要があることに注意してください。

なぜ境界条件はMagnetic field normal (法線磁場)、Magnetic flux tangential (接線磁束)と呼ばれるのですか？

単純に、方程式で規定されている通りだからです。 Magnetic flux tangentialでは磁束密度の法線方向成分はゼロであり、Magnetic field normal では磁場の接線方向成分はゼロです。 知っておくと便利なのは、等方性物質では、Magnetic flux tangential は接線方向と法線方向の両方を意味します。しかし、一般的に(異方性材料では)これは正しくありません。したがって、名称の正確な表現を維持するために、このような名称になっています。

Result control

Result controlセクションでは、設計の解析に役立つシミュレーション結果の出力を定義することができます。Electromagnetic (電磁界)シミュレーションでは、インダクタンス、力、トルクを追加の出力としてサポートされています。これらのパラメータの結果は、コイルの抵抗値とともに表形式で提供され、シミュレーション完了後にすべてTablesからアクセスできます。

図 14: Electromagnetic (電磁界)シミュレーションで使用可能なResult control項目

Inductance (インダクタンス)

変化する磁場にさらされることによって導体内に電流が発生する現象を電磁誘導、または単に誘導と呼びます。
磁場が導体内の電流を誘導するため、「誘導」という用語が使われます。

インダクタンスとは、電流の動きから生じる磁界内にエネルギーを蓄えるインダクタの能力を意味します。この磁界の確立にはエネルギー入力が必要で、磁界の強度が失われるとエネルギーは放電されます。

インダクタンスの影響を理解するには、単純な電線の輪を例にとると分かりやすいでしょう。ワイヤループの両端に突然電圧がかかったとします。それに応じて、電流はゼロからゼロ以外の値にシフトする必要があります。しかし、ゼロでない電流はマクスウェル-アンペールの法則に従って磁場を発生させます。

電流がオームの法則(\(I = \frac{V}{R}\) )によって決められた安定値まで上昇すると、電流が発生させる磁場は徐々に定常的な形になります。磁場はこの過程で変化するため、コイル自体に電圧が誘導されます。この誘導電圧は逆起電力(逆起電力)とも呼ばれます。この起電力の強さは、電流の変化率とインダクタンスに依存します。

電磁誘導が電気回路内で起こり、電気の流れに影響を与える場合、インダクタンスと呼ばれ、\(L\) と表記されます。インダクタンスの単位はヘンリー\(H\) です。

インダクタンスには2種類あります:

1. 自己インダクタンス:
   自己インダクタンスは回路の特性で、多くの場合コイルに関連しており、電流が変化すると、流れる電流に起因する磁界の変化により、回路自体で対応する電圧の変化が生じます。
2. 相互インダクタンス:
   相互インダクタンスは、1つの回路内の電流の変化が、両方の回路をつなぐ共有磁界により、2つ目の回路を横切る対応する電圧の変化を引き起こすときに発生します。この特殊な現象は、変圧器のような装置に応用されています。

N 個のコイルからなるシステムでは、インダクタンスは NxN 行列で表されます。ここで、 L_ii は自己インダクタンスを表し、 L_ij は相互インダクタンスを表します。この行列表現を容易にするためには、コイルに連番を付けることが不可欠です。

シミュレーションでインダクタンス計算を有効にするには、Result control アイテムをクリックすると、図 14 に示すようにシミュレーションツリーの右上にポップアップウィンドウが表示されます。インダクタンス計算を有効にするには、ラジオボタンをクリックします。

図 15: 3 相変圧器のインダクタンス行列の出力例

Forces and Torques (力とトルク)

このResult control項目は、指定した体積(部品)上の電磁界による力とトルクを計算します。

力とモーメントの計算は、仮想仕事法に基づいています。この方法は、オブジェクトが目的の力成分の方向に沿って距離(\(\Delta s\) )移動したときの全体的な磁気エネルギーの変化を決定することを含みます。

これにより、変位方向に沿った力\(s\) :

$$ F_s = \frac{W_2 – W_1}{\delta s} $$

ここで、\(W\) は仮想仕事であり、次のように計算できます:

$$ W = \frac{1}{2} \int{B \cdot H \, dv} $$

トルクは、成分を直交軸のいずれかの周りに微分度(\(\Delta \phi\) )で回転させることで得られます:

$$ \tau = \frac{W_2 – W_1}{\Delta \phi} $$

Forces and Torques (力とトルク) 出力を定義するには、図 14 に示すように、Result controlの下にある出力にアクセスします。次に、ユーザーは 力とトルクを計算するボリュームを選択するよう求められます。トルク計算では、 Torque Reference Point (トルク参照点)を定義する必要があります。

図16: シミュレーションセットアップでのForces and Torques (力とトルク)の出力の定義と、そのような結果要求の期待される出力。出力は、磁気リフティングマシンの静磁場シミュレーションによるものです。

知っておくと便利な仮想作業法

仮想作業法を使用して正確な結果を得るには、力とトルクを計算する本体が力のない物質(空気など)で囲まれていることが重要です。 力のない物質とは、電荷に力を及ぼさず、磁場とも相互作用しない物質のことです。一般的には絶縁体であり、電流は流れず、透磁率は自由空間と等しくなります。

Numerics

Numericsはシミュレーションの設定において重要な役割を果たします。適切な離散化スキームとソルバーを方程式に適用することで、方程式の解法を定義します。これにより、シミュレーションの安定性とロバスト性が向上します。

図17: Electromagnetic (電磁界)シミュレーションで使用可能な数値計算機能

Element accuracy (要素精度)

Element accuracy (要素精度)設定では、有限要素の次数を選択することができ、First order (1次: 線形形状関数)とSecond order (2次: 放物線形状関数)から選択することができます。

デフォルトのElement accuracy (要素精度)は2次です。特に力やトルクを計算する場合など、より高い精度が必要な場合は、このままにしておくことをお勧めします。2次要素は、精度が高い反面、要素の自由度が増えるため、1次要素に比べて計算負荷が高くなります。

Nonlinear residual (非線形残差)

反復ソルバーで許容される最大誤差を表します。明確に定義されたモデルを扱う場合、反復ソルバーはこの指定値よりも低い誤差を達成するまで反復を続けます。この閾値より小さい誤差を達成できない場合、ソルバーは終了し、失敗を報告します。非線形残差の値が小さいほど、シミュレーションの収束が厳しくなり、解答時間が長くなりますが、より正確な解が得られます。

Simulation control

Simulation controlの設定は、シミュレーションの一般的な制御を定義します。シミュレーションの Maximum run time (最大実行時間)を定義し、リアルタイムでのシミュレーションの最大実行時間を決定します。この値を超えるとシミュレーションは停止します。

図18: Simulation controlの設定

Mesh (メッシュ)

メッシュはシミュレーション領域を離散化するプロセスです。つまり、大きな領域を複数の小さな領域に分割し、それらの方程式を解きます。

電磁界解析では、 Standardメッシャー アルゴリズムが使用できます。メッシュの詳細については、こちらのページをご覧ください。

参考文献

• https://www.flukenetworks.com/blog/cabling-chronicles/101-series-stranded-vs-solid-patch-cords
• https://www.nde-ed.org/Physics/Magnetism/Demagnetization.xhtml