SimScaleでは、CFDシミュレーションに現れる 乱流効果をさまざまな方法でモデル化できます。SimScale CFDソルバーでは、広く受け入れられている乱流モデルの自社バージョンを使用します。このドキュメントでは、一般的なk-omega乱流モデルについて説明します。
概要
レイノルズ平均ナビエ・ストークス(RANS)方程式をテンソル形式\(^1\) :
$$ {\frac{\partial (\rho U_i)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_iU_j)}{\partial x_j}} = -\frac{\partial P}{\partial x_i} + {\frac{\partial}{\partial x _ j}\left[\mu\left(\frac{\partial U _ i}{\partial x _ j} + \frac{\partial U _ j}{\partial x _ i}\right) – \rho \overline{{u_i}'{u_j}’}\right]} \tag{1} $$
ここで
- \(U\) = 平均流速
- \(u’\) = 乱流による速度変動
- \(\mu\) = 分子粘性
- \(-\rho \overline{{u_i}'{u_j}’}\) = レイノルズ応力項
レイノルズ平均化処理により、レイノルズ応力という応力項が追加されます。RANS方程式を解くには、レイノルズ応力を平均流量の項で表現する必要があります。
レイノルズ応力項の解は、渦粘性近似/ブシネスク近似\(^1\) によって次のように与えられます。
$$-\rho \overline{{u_i}'{u_j}’} = \mu_t\left(\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+ \frac{\partial U_j}{\partial x_i} -\frac{2}{3}\frac{\partial U_k}{\partial x_k} \delta_{ij} \right) -\frac{2}{3} \rho k \delta_{ij} \tag{2}$$
ここで
- \(\mu_t\) = 乱流粘度または渦粘度
- \(\delta_{ij}\) = クロネッカーのデルタ
$$ \delta_{ij} =
\begin{cases}
1, & \text{if $i=j$
\(\to\) 法線成分} \\[2ex]
0, & \text{if $i \neq j$ \(\to\) せん断成分}
\end{cases}$$
式2は、レイノルズ応力のせん断成分と法線成分を組み合わせた式です。式2を見ると、乱流粘性率(\((\mu_t)\) )を解けば、RANS方程式1を解くことができることがわかります。
したがって、乱流モデルの違いは、乱流粘性の計算方法です。
k-omega乱流モデル
k-omega(\(k-\omega\) )乱流モデルは、乱流条件の影響を把握するために最も一般的に使用されるモデルの1つです。レイノルズ平均ナビエ・ストークス(RANS)乱流モデルの一種で、乱流のすべての効果がモデル化されています。
これは2方程式モデルです。つまり、保存方程式に加えて、対流や乱流エネルギーの拡散などの履歴効果を考慮した2つの輸送方程式(PDE)を解きます。2つの輸送変数とは、乱流のエネルギーを決定する乱流運動エネルギー(\(k\))と、単位乱流運動エネルギーあたりの散逸速度を決定する比乱流散逸速度(\(\omega\))です。\(\omega\) は乱流のスケールとも呼ばれます。
\(k-\epsilon\) 乱流モデルについての記事では、\(\epsilon\) と\(\omega\) が本質的に乱流運動エネルギー\((k)\) の散逸を表していることがわかります。
散逸率\((\epsilon)\) と比散逸率\((\omega)\) の関係は次式で与えられます。
$$ \epsilon = C_{\mu}k \omega \tag{3}$$
ここで、\(C_\mu\) = 0.09です。
k-omegaモデルには、標準k-omega、k-omega BST、k-omega SSTなど、さまざまな種類があります。SimScaleでは、標準k-omega (k-omega)およびk-omega SST (k-omega SST)バージョンが利用可能です。
標準モデル (k-omega)
乱流変数の輸送方程式
乱流運動エネルギー\((k)\) の輸送方程式は次式で与えられます。\(^2\)
$$ {\frac{\partial (\rho k)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_ik)}{\partial x_i}} = {\frac{\partial}{\partial x _j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_k} \right){\frac{\partial k}{\partial x_j}}\right] + P_k + P_b -\rho \epsilon +S_k \tag{4} $$
ここで
- \(P_k\) = 平均摩擦速度による乱流運動エネルギー(TKE)の生成
- \(P_b\) = 浮力による乱流運動エネルギーの生成
- \(S_k\) = ユーザー定義ソース
- \(\sigma_k\) = \(k\)の乱流プラントル数
乱流散逸率\((\epsilon)\) の輸送方程式は次式で与えられます。\(^2\)
$$ {\frac{\partial (\rho \epsilon)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_i \epsilon)}{\partial x_i}} = {\frac{\partial}{\partial x _j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_\epsilon} \right){\frac{\partial \epsilon}{\partial x_j}}\right] + C_1 \frac{\epsilon}{k}(P_k +C_3P_b) -C_2 \rho \frac{\epsilon^2}{k} + S_\epsilon \tag{5} $$
ここで
- \(C_1, C_2, C_3, C_\mu=k-\epsilon\) 乱流モデル内で変化するモデル係数
- \(S_\epsilon\) = ユーザー定義ソース
- \(\sigma_\epsilon\) = \(\epsilon\)の乱流プラントル数
式 5 に式 3 を代入すると、次のようになります。
$$ {\frac{\partial (\rho \epsilon)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_i \epsilon)}{\partial x_i}} = {\frac{\partial}{\partial x _j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_\epsilon} \right){\frac{\partial \epsilon}{\partial x_j}}\right] + \frac{\gamma}{\nu_t}P_k -\beta\rho\omega^2 + \underbrace{\frac{2\rho{\sigma_{\omega}}^2}{\omega} \Delta k: \Delta \omega}_{追加項} \tag{6}$$
ここで
$$\Delta k: \Delta \omega = \frac{\partial k}{\partial x_j}\frac{\partial \omega}{\partial x_j}$$
また式6の以下の部分は置換の一部として現れる追加項です。 この項を除けば、式 6 は比散逸率\((\omega)\) の輸送方程式と呼ぶことができます。
$$\frac{2\rho{\sigma_{\omega}}^2}{\omega} \Delta k: \Delta \omega$$
| \(k-\epsilon\) と\(k-\omega\)の乱流モデルの違い |
| \(\epsilon\) と\(\omega\) は本質的に乱流散逸を表しているため、\(k-\epsilon\) と\(k-\omega\) のモデルの違いは、方程式に現れる経験的な係数です (\(\sigma_k, \sigma_\epsilon, \beta ……)\) |
乱流粘性のモデル化
k-epsilon 乱流モデル のドキュメントで説明されているように、古い乱流モデルは乱流(渦)粘度を解くために混合長アプローチを使用していました。\(k-\epsilon\) 乱流モデルは、代わりに乱流散逸率を直接解きます。
\(\epsilon\)と\(\omega\)は両方とも乱流運動エネルギーの散逸を表すので、どちらかの輸送を解き、式3を使って単純に変換することができます。
乱流エネルギー\(k\) は次式で与えられます:
$$k=\frac { 3 }{ 2 } { \left( UI \right) }^{ 2 }\tag{7}$$
ここで、\(U\) は平均流速、\(I\) は乱流強度です。
乱流強度は次のように定義されます:
$$I = \frac { u’ }{ U }\tag{8}$$
\(u’\) は乱流速度変動の二乗平均平方根で、次のように与えられます:
$$u’ = \sqrt { \frac { 1 }{ 3 } \left( { { u’ }_{ x } }^{ 2 } + { { u’ }_{ y } }^{ 2 } + { { u’ }_{ z } }^{ 2 } \right) } =\sqrt { \frac { 2 }{ 3 } k }\tag{9}$$
平均速度\(U\) は次のように計算できます:
$$U = \sqrt { { { U }_{ x } }^{ 2 }+{ { U }_{ y } }^{ 2 }+{ { U }_{ z } }^{ 2 }}\tag{10}$$
$$\omega ={ { C }_{ \mu } }^{ \frac { 3 }{ 4 } }\frac { { k }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ l }\tag{11}$$
\({ { C }_{ \mu } }\) は乱流モデル定数、\(l\) は乱流の長さスケール。
乱流の長さスケールは、乱流中の大きなエネルギーを含む渦の大きさを表します。
したがって、乱流粘度\(\mu_t\) は次のように計算されます:
$$\mu_{t} = \frac{\rho k}{\omega}\tag{12}$$
応用例
標準\(k-\omega\)モデルは低レイノルズ数におけるモデルです。すなわち、境界層が比較的厚く、粘性下層を分解できる低レイノルズ数の流れに使用できます。
k-epsilonモデルは、粘性下層領域で経験的な減衰関数を使用します。翼やタービンブレードを通過する流れのような不利な圧力勾配が存在する場合、これらの関数はあまり正確ではありません。k-omegaモデルは、これらの減衰関数を必要としないため、精度が向上します。
したがって、壁面近傍の処理には、標準\(k-\omega\) モデルが最適です。その他の利点としては、不利な圧力勾配や分離(外部空気力学やターボ機械など)下の複雑な境界層流れに対して優れた性能を発揮することが挙げられます。
このモデルの欠点は、乱流の自由流れ値/入口条件に依存することです。\(k\) のわずかな変化に対して、乱流粘性と皮膚摩擦係数が大きく変化することが知られており、過度かつ早期の剥離を引き起こし、本体\(^2\) にかかる力を不正確に捉えます。
k-omega SST
基本
k-epsilonモデルは自由流れ領域で優れた結果を示す傾向があり、k-omegaモデルは壁に近い境界層領域で優れた精度を示します。ブレンド関数を使用することで、これら2つの乱流モデルの利点を組み合わせることができます。
k-omega モデルの欠点の 1 つは、自由流れの値\(k, \omega,\) および\(\epsilon\) の影響を受けやすいことです。一方、k-epsilon乱流モデルはそのような影響を受けにくく、むしろそのような面ではロバストです。
そのため、壁から離れたk-epsilonモデル(自由流れ領域)から壁に近いk-omegaモデルに切り替えるためにブレンド関数を使用します。
乱流変数の輸送方程式
関数(1-\(F_1\) )を使用して式6の追加項を乗算すると、式は次のようになります。
$$ {\frac{\partial (\rho \epsilon)}{\partial t}} + {\frac{\partial (\rho U_i \epsilon)}{\partial x_i}} = {\frac{\partial}{\partial x _j}}\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_\epsilon} \right){\frac{\partial \epsilon}{\partial x_j}}\right] + \frac{\gamma}{\nu_t}P_k -\beta\rho\omega^2 + (1-F_1)\underbrace{\frac{2\rho{\sigma_{\omega}}^2}{\omega} \Delta k: \Delta \omega}_{追加項} \tag{13}$$
\(F_1\) がゼロの場合、追加項は残るので、式 13 は\(k-\epsilon\) 乱流モデルを表す\(\epsilon\) の輸送方程式となります。
\(F_1\) が 1 の場合、追加項は消滅するため、式 13 は\(k-\omega\) 乱流モデルを表す\(\omega\) の輸送方程式となります。
ブレンド関数
\(F_1\) は、2つの乱流モデルを効果的にブレンドすることから、ブレンド関数と呼ばれています。数学的に言えば、k-omegaモデルとk-epsilonモデルの間のスムーズな移行に使用される双曲線関数です。これは、追加の粘度リミッターとともに、k-omega SST(せん断応力輸送)モデルの基礎となります。
乱流粘性のモデル化
k-omegaモデルの乱流粘性\((\mu_t)\) 。
$$\mu_{t} = \frac{\rho k}{\omega}$$
k-omega SST モデルの乱流粘性率は次式で計算されます。\(^3\)
$$\mu_{t} = \frac{a_1 \rho k}{max(a_1\omega,SF_2)} \tag{14}$$
ここで
- \(F_2\) は別の混合関数
- \(S\) はせん断ひずみの大きさ
したがって、\(SF_2\) が\(a_1 \omega\) よりも大きい場合、粘性は制限され(すなわち低下し)、その結果、分離流の実験測定値との一致度が向上します。
応用例
\(k-\omega\) SSTモデルは、最も広く受け入れられている乱流モデルです。このモデルは、多くのRANSモデルよりも優れた流れの分離予測を提供し、また、逆圧力勾配での良好な挙動を説明します。このモデルは、逆圧力勾配境界層における主せん断応力の輸送を説明する能力を備えています。精度と費用の比率が高いことから、業界で最も一般的に使用されているモデルです。
マイナス面としては、\(k-\omega\) SSTモデルは、淀み領域や加速度が強い領域など、法線ひずみが大きい領域で大きな乱流レベルを発生させます。しかし、この影響は通常のk-epsilonモデルよりもはるかに小さいです。
入口乱流
与えられた問題を現実的にモデル化するためには、入口の乱流強度を定義することが重要です。ここでは、流入乱流強度の一般的な推定例をいくつか示します:
- 高乱流(5%～20%): 高乱流(5％～20％): 複雑な形状の内部で流速が速いケース。例: 熱交換器、ファンやエンジンなどの回転機械の流れなど。
- 中乱流(1%以上5%未満): それほど複雑でない形状や低速の流れ。例: 太いパイプ内の流れ、換気の流れなど。
- 低乱流(1％未満): 静止している流体や粘性の高い流体のケース。例: 自動車、潜水艦、航空機などの外部流れ。
| ご存知でしたか？ |
|
$$I=0.16 { { Re }_{ { d }_{ h } } }^{ -\frac { 1 }{ 8 } }\tag{15}$$ \({ { Re }_{ { d }_{ h } } }\) は、水力直径\({ { d }_{ h } }\) のパイプのレイノルズ数です この場合の乱流の長さスケールは$$l=0.07{ d }_{ h }\tag{16}$$ |
SimScaleでのk-omegaモデルの適用
シミュレーション設定の最初に、グローバル設定パネルでk-omega乱流モデルを選択する必要があります。これを下図に示します:
デフォルトでは、SimScaleは問題の領域に応じて乱流変数\(k\) と\(\omega\) の初期値を定義します。必要であれば、 Initial conditions (初期条件)の下で変更することができます。さらに、これらの乱流変数の境界条件を特別に定義したい場合は、 Custom (カスタム)境界条件を使用できます。
参考文献
- "[CFD] Eddy Viscosity Models for RANS and LES." Fluid Mechanics 101. February 24, 2021.
- "[CFD] The k-omega Turbulence Model." Fluid Mechanics 101. June 4, 2020.
- "[CFD] The k-omega SST Turbulence Model." Fluid Mechanics 101. March 14, 2019.
- Menter, Florian R. "Improved two-equation k-omega turbulence models for aerodynamic flows.", 1992.
- Wilcox, David C, "Turbulence Modeling for CFD". Second edition. Anaheim: DCW Industries, pp.174, 1998.
- http://www.cfd-online.com/Wiki/Turbulence_free-stream_boundary_conditions