Rayleigh damping (レーリー減衰)モデルは、 HarmonicやDynamicシミュレーションで使用できる粘性減衰の近似モデルです。内部摩擦による材料のエネルギー散逸を、ひずみまたは変形速度に比例すると仮定してモデル化することができます。そのため、実験データや想定データからモデル係数を決定する必要があることが一般的です。この記事では、レーリー減衰係数の定義と決定方法について説明します。
定義
減衰力項\(F(t)\) は、慣性質量\(m\) 、減衰係数\(c\) 、バネ剛性\(k\) を持つ1自由度システムの一般的な動的運動方程式に見られるように、変形率\(\dot{x}\) に比例すると仮定されます:
$$ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) $$
レーリーモデルは減衰係数を質量と剛性の線形結合として近似します:
$$ c = \alpha k + \beta m $$
ここで\(\alpha\) は剛性比例減衰係数\([seconds]\) であり、\(\beta\) は質量比例減衰\([1/seconds]\) です。
運動方程式に代入し、振動の固有振動数\(\omega_n\) と減衰比\(\zeta\) で再整理すると、次のようになります:
$$ \ddot{x} + \frac{c}{m} \dot{x} + \frac{k}{m} x = \frac{F(t)}{m} $$
$$ \ddot{x} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2 x = \frac{F(t)}{m} $$
ここで
$$ \omega_n^2 = \frac{k}{m} $$
$$ \zeta = \frac{c}{c_{critic}} = \frac{c}{2m\omega_n} $$
そして、レーリー減衰係数と減衰比を関連づけることができます:
$$ \zeta = \frac{1}{2 m \omega_n}(\alpha k + \beta m) $$
$$ \zeta = \frac{1}{2}\bigg( \alpha \omega_n + \frac{\beta}{\omega_n} \bigg) $$
この式から、レーリーモデルは3つのケースを再現できることがわかります:
減衰が慣性に比例する場合
この場合、剛性係数\(\alpha = 0\) :
$$ \zeta = \frac{ \beta }{2 \omega_n } $$
\(\beta\) の値が一定の場合、図に示すように減衰は固有振動数に反比例することがわかります:
さらに、ある固有振動数\(\omega_1\) における減衰比\(\zeta_1\) から\(\beta\) を計算すると、それ以下の固有振動数はすべて増幅され、それ以上の振動数は減衰します。この効果は、周波数が基準値から離れれば離れるほど劇的です。
減衰は剛性に比例
この場合、質量係数\(\beta = 0\) 、このようになります:
$$ \zeta = \frac{1}{2} \alpha \omega_n $$
最初のケースとは逆に、ここでは減衰は固有振動数に正比例することがわかります:
与えられた固有振動数\(\omega_1\) における減衰比\(\zeta_1\) から\(\alpha\) を計算すると、下の固有振動数は減衰し、上の振動数は増幅します。
一般的なケース
2つのパラメータを持つモデルを使用した場合、周波数に対する減衰の比例関係は極値を持つ凸型になります:
この場合、2つの減衰比と2つの固有振動数が必要であり、2つの方程式を作成し、\(\alpha\) と\(\beta\) について解きます。このモデルは固有振動数をどこに置くかについてある程度の柔軟性を与えますが、一般的に、計算に使用した振動数から離れすぎた振動数は増幅されます。
2つの周波数に等しい減衰比を使用する特殊なケースでは、減衰比がサンプルポイントで定義された範囲内で一定にならず、内側の周波数が減衰することに注意することが重要です。つまり、内側の周波数ほど減衰比が小さくなります。
| 減衰比を一定にしようとすると？ |
| 3つのケースのいずれにおいても、すべての周波数に同じ減衰比を適用することは不可能であることに注意してください。 |
レーリー減衰係数の計算
最も一般的なケースでは、システムの過渡応答曲線が得られ、減衰比\(\zeta_1\) は、連続するピークの(対数)減衰を測定することで、最も低い固有振動数\(\omega_1\)に対して決定されます :
$$ \zeta = \frac{ \delta }{ \sqrt{ \delta^2 + (2\pi)^2 }} $$
$$ \delta = \ln{ \frac{ x_0 }{ x_1 } } $$
$$ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{t_1 – t_0} $$
$$ \omega = 2 \pi f $$
減衰が剛性に比例する場合、\(\beta= 0\) を想定するのが最も一般的であり、\(\alpha\) 剛性係数が計算されます:
$$ \alpha= \frac{ 2 \zeta_1 }{ \omega_1 } = \frac{ \zeta_1}{ \pi f_1} $$
システムに関する知識が、減衰が周波数とともに減少する場合を示している場合、減衰が慣性に比例する場合を仮定することができます。\(\alpha = 0\)、質量係数\(\beta\):
$$ \beta = 2 \zeta_1 \omega_1 = 4 \pi \zeta_1 f_1$$
そのような試験データやシステムに関する知識がない場合、あるいは周波数範囲にわたって近似的な減衰比を適用したい場合は、一般的なケースを使用し、2つの方程式系を構築します:
$$ \zeta_1 = \frac{1}{2} \bigg( \alpha \omega_1 + \frac{\beta}{\omega_1} \bigg) $$
$$ \zeta_2 = \frac{1}{2} \bigg( \alpha \omega_2 + \frac{\beta}{\omega_2} \bigg) $$
次に、未知の係数について解き、一般的なケースについて上で述べた考察と、対象範囲の内外の固有振動数に対するモデルの影響を念頭に置きます。つまり、ある範囲での平均減衰比を得たい場合、入力減衰比を変更するか、2つ以上の周波数点から最小二乗近似を行うことによって減衰を補正します。